Che cos’è la matematica secondo i ragazzi? A cosa serve?
Etimologia della parola dal greco: ciò che può essere appreso, ma manthàno ha in sé anche il concetto di una divinità che rivela (dea egiziana Maat della piuma); accenni al platonismo, di cui vedremo struttura e significato del 5 solidi; lettura di un estratto del Menone.
La geometria euclidea
La matematica è una disciplina astratta, che si fonda sulle parole, o concreta, fatta da immagini? Il carattere eminentemente geometrico della matematica greca classica: il teorema di Pitagora dimostrato “visivamente” (col cartoncino).
Struttura della matematica: definizioni, assiomi, postulati, teoremi.
Gli Elementi di Euclide: hòroi, aitèmata, koinài ennòiai; i postulati come richieste (non ha senso domandarsi se siano veri o falsi, se li cambio, sto cambiando geometria).
L’esempio di una formica che vive su una sfera: lei chiama “rette” quelle che noi chiamiamo “cerchi” (accenni alle geometrie non euclidee).
Introduzione a Geogebra: si ripercorre quanto visto attraverso l’utilizzo di un software di geometria dinamica. Qualche proposizione con Geogebra: esempio interessante la proposizione 2: da non confondere cl terzo postulato!
La geometria della visione e la prospettiva
L’Ottica di Euclide come primo testo scientifico sulla geometria della visione (considerazioni storiche e scientifiche, senza approfondire eccessivamente la geometria su cui si basa; se vi sono i prerequisiti sulla similitudine e la congruenza si può vedere qualche semplice teorema)
La prospettiva nella pittura: dalla stanza delle maschere (casa di Augusto, I sec a.C.) a Piero della Francesca (De prospectiva pingendi, 1482): attraverso le immagini si fa un viaggio nella storia dell’arte, osservando come la “corretta” impostazione prospettica di un dipinto si basa su una schematizzazione rigorosa della superficie (bidimensionale) su cui si ritrae una realtà tridimensionale.
La galleria prospettica di Palazzo Spada: visita (2h)
Il concetto di dimensione attraverso Flatlandia (proiezione integrale o di spezzoni significativi); e noi abitanti delle tre dimensioni, come possiamo “vedere” la quarta? L’Ipercubo di Pierelli, la grafica di Todesco (Hypersphere).
Il concetto di simmetria.
[Che cos’è un angolo? I poligoni regolari e le loro proprietà.] E se il numero dei lati diventasse infinitamente grande (e la loro lunghezza infinitamente piccola)?[Che cos’è un diedro? I poliedri regolari e i poliedri troncati.]
Mattonelle, tassellazioni e fregi: ricoprire superfici con poligoni. L’arte di Escher e le tassellazioni non periodiche di Penrose. Le stuoie africane.
I cristalli di neve e il dna (le simmetrie esagonali).
Si è già visto come nell’arte si siano sfruttate spesso costruzioni matematiche per descrivere meglio la realtà, vediamo ora come invece la matematica si possa sfruttare per ottenere effetti sorprendenti. Escher e lo spazio: il nastro di Moebius come semplice costruzione di superficie non orientata (da fare con la striscia di carta); la ricerca dell’infinito e le figure impossibili.
Logica: nozioni di base e accenni al teorema di Goedel (–>Smullyan)
Sezione aurea, numeri di Fibonacci, spirali, fillotassi, broccoli e frattali
Rettangolo e rapporto aureo in arte e in matematica.
Spirale logaritmica
Ancora solidi platonici
Successione (di Fibonacci e ancora spirali)
Brainstorming sul broccolo: che proprietà ha? Guardata nella sua interezza e con una lente di ingrandimento, cosa possiamo dire della sua forma?
Il frattale come immagine dotata di omotetia interna o autosimilarità. Soprassedendo sulla definizione matematica che impiega numeri complessi e il concetto di sistema dinamico, costruiamo a mano la curva di Koch (frattale lineare).