Proseguiamo lo studio delle simmetrie in arte parlando di (e ascoltando, ovviamente!) musica.

Nello specifico leggiamo l’articolo di Benedetto Scimemi, Contrappunto musicale, (in Matematica e Cultura 2001, a cura di M. Emmer, Springer, 2001).

Utilizzeremo le simmetrie piane (di cui abbiamo già parlato), cioè:

• traslazioni
• riflessioni
• rotazioni

Prendiamo lo spartito di fra’ Martino e applichiamo una riflessione orizzontale (nell’articolo riflessione lago) rispetto, ad esempio, al terzo rigo del pentagramma (quindi i punti fissi saranno tutti i “si”). Il ritmo sarà lo stesso, ma la melodia completamente diversa: la “tristezza” è data dal modo minore.

Ora applichiamo una riflessione orizzontale (nell’articolo riflessione muro) sullo spartito originario: leggiamolo cioè all’indietro:

Ora prendiamo lo spartito ed effettuiamo una rotazione di mezzo giro o, equivalentemente applichiamo una riflessione orizzontale e poi una verticale, o viceversa… infatti possiamo pensare un pentagramma come un rettangolo sufficientemente lungo: le simmetrie prese in considerazione possono cioè essere composte, in quanto formano un gruppo (diedrale D_4, o di Klein).

Ora che abbiamo capito come “agiscano” queste simmetrie sugli spartiti, vediamo come Bach le utilizzi per le diverse variazioni (Goldberg, ad esempio).